サイトを拝見しましたが、カウンターは表示されておりません。
症状について整理させてください。
奥田様のご利用になられているサーバでは、複数のドメインで同じサイトを表示できるようになっています。
例えば下記二つのドメイン(○○○にはお使いのアカウントと独自ドメインが入ります)で、同じサイトにアクセスできるというわけです。
レンタルサーバのドメイン
http://○○○.sakura.ne.jp/
ご自身で取得された独自ドメイン
http://○○○.com/
現在「http://○○○.sakura.ne.jp/cgi/」を管理画面としてブックマークされているのではないかと思います。
この状態でアクセスカウンターのタグ見本を取得すると、「http://○○○.sakura.ne.jp/」用のタグ見本が表示されます。
ところが、管理者以外は「http://○○○.com/」にアクセスしますので、「http://○○○.sakura.ne.jp/」用のタグ見本は正しく動作しません。別ドメインからの不正なアクセスカウント要求と見なされ無視されてしまいます。
一方、管理画面と同じドメイン「http://○○○.sakura.ne.jp/」にアクセスすると、アクセスカウンターが表示されます。
カウンターが正常に表示されたのは、「http://○○○.sakura.ne.jp/」をご覧になっているからだと拝察します。
管理画面のブックマークを確認し、もしURLが「http://○○○.sakura.ne.jp/cgi/」となっている場合はお使いの独自ドメイン下のURL「http://○○○.com/cgi/」に修正してください。
そのうえで、タグ見本を取得されれば、期待通りに動作するのではないかと思います。
管理画面と閲覧画面でドメインが異なる場合、RSSが正しいURLで書き出されない、RSSの書き換えに失敗する等、さまざまな不具合が発生します。管理画面と閲覧画面のドメインを統一されることを強くお勧めいたします。
以上参考になりましたら幸いです。